题 目：Navier-Stokes 方程的一个新的边界层方程和边界形状控制，球单元有限元及其的应用
报告人：李开泰教授
时 间：2018年11月5日16:30
地 点：我院3401
摘 要：
本报告主要讲述：1.二维流形上的混合张量分析，2.在以二维流形为基础的半测地坐标系下的NS 方程，3.一个新的边界阶层方程，4.固体表面所受的阻力泛函--形状控制的目标泛函，5.目标泛函关于几何形状的第一变分，6.控制问题的数值方法，7.球单元有限元
李开泰教授简历：
1962年 西安交通大学数理力学系毕业
1962－1980 西安交通大学数理力学系 助教，讲师
1980 西安交通大学数学系 晋升为副教授
1983－1992 西安交通大学计算物理研究室 主任
1984至今 先后任西德波恩大学，美国Illiois大学，乔治亚理工学院，大西洋大学，德国马堡大学，法国傅立叶大学，法国INRIA访问教授
1984至今 欧美，日本30多所大学做80多场学术讲演
1985 西安交通大学数学系 晋升为教授
1986.9－1987.5 美国明尼苏达大学应用数学研究所 中美两国科学院交换学者
1991 西安交通大学应用数学研究中心 副主任
1992－1995 西安交通大学科学计算系 主任
1994至今 西安交通大学数学系 博士生导师
1996－1998 西安交通大学理学院 院长
任多个期刊的编委：
1991－2001 国际计算力学学会 理事
1997至今 北京国际计算物理中心 学术委员会委员
1995－2002 高等院校应用数学报 编委
1992－2002 计算物理 编委
1987－2000 数值计算与计算机应用 编委
1984－1998 工程数学学报 副主编
1981－2000 数学研究与评论 编委
研究领域：
偏微分方程，连续介质力学中的数学理论和方法；大规模工程和科学计算；有限元方法及其应用；非线性物理中分歧、混沌理论和计算；并应用到透平机械、核反应堆、近代梁工程、电器产品设计及潜艇柴油发动机等工程问题。所从事的研究工作有8个项目获国家教委和陕西省科技进步奖：陕西省科学大会奖一个，陕西省科技进步一等奖一个，国家教委科技进步奖二等奖两个，自然科学奖提名二等奖一个，陕西省科技进步二等奖一个，陕西省科技成果三等奖一个和机械工业部科技成果奖三等奖一个。除了一个二等奖为第二完成人之外，其他它均为第一完成人。 发表学术论文 228篇,其中SCI检索 76 篇,著作5本。被SCI期刊源文章引用94次，被中国科技期刊源文章引用 275 次。主持5个国际会议，应邀在8个国际学术会议上作大会报告。主持国家自然科学研究 基金面上项目15个，是国家重大基础理论研究“攀登”项目和（973）项目的骨干研究者。
代表成果：
一、提出叶轮机械内部流动中能量耗散最小最优叶片几何形状数学模型。提出叶轮机械叶片几何形状数学设计新原理。提出广义极小曲面新概念及旋转Nzvier-Stokes方程边界形状控制的新问题。它包括数学模型、计算公式、理论分析和计算机上实现的全过程，是应用张量分析工具，综合流体力学、流体机械、偏微分方程和数值数学各学科知识，进行的交叉性研究成果，是一项完全有自己的知识产权的创新成果。
二、 建立了透平机械内部三元流动的吴仲华两种流面方法的数学理论。提出叶轮机械内部三元流动（有粘，无粘）任意流面和流层概念，建立了流面上的流函数的微分方程，证明了适定性，并给出有限元解的误差估计，得到误差界与马赫数之间的关系C+kM^2/(1-M^2)，其中M为流动马赫数。
三、建立在惯性流形基础上Navier-Stokes方程和湍流新算法的研究。
(A)、提出了三维流动中的流层概念，推导出半测地坐标系下的 Navier-Stokes 方程，将三维流动问题分解为二维流形(流面)上的Navier-Stokes 方程和一个一维问题，建立了维数分裂算法和相应的渐近分析方法，克服了高维数的困难。并应用于叶轮机械内部三维流动，这种方法也为研究薄流层内Navier-Stokes方程解的存在性和奇异吸引子及其维数估计提供了新的研究方法。
(B)、Navier-Stokes方程的吸引子、惯性流形、近似惯性流形以及相关的算法（1）证明了一类非线性发展方程时间离散惯性流形的存在性、稳定性和光滑性。（2）证明了非定常Navier-Stockes方程的全离散非线性Galerkin方法收敛性，并给出了稳定性和在任意实数阶Sobolev空间中的误差估计，证明了误差随初始条件光滑性的降低而提高。这就很好地解答了过去曾令人迷惑不解的现象，即非线性Galerkin方法(NGM)理论结果很漂亮，但实际计算则不能令人满意，从而说明了此方法对湍流计算比传统方法更有效。（3） 提出了一种建立惯性流形切空间中正交分解之上的新的近似惯性流形及其相应的二重网格校正算法。它比经典的Galerkin方法收敛速率提高一倍多，比M-T型的非线性Galerkin解提高1/2阶。（4）对于具有非光滑初始数据和与时间有关外力的非线性非自治动力系统，提出称为“全离散动力非线性Galerkin算法”(FDDNGM)，其特点是保留高频部分的时间导数项，低频部分构造基于N-S方程导算子的高精度的近似惯性流形。研究了FDDNGM的有界稳定性、初值和外力扰动稳定性及误差分析。与T-M的NGM比较，收敛阶提高一个数量级，并且计算时间可以从t=0开始，而不必像T-M的NGM方法那样在[0,t]上需要精细的Galerkin 方法之后再用NGM方法。
(C)、基于时滞近似惯性流形族的新算法（1）证明了时滞惯性流形的存在性，提出了时滞近似惯性流形族这一新概念，即解的大涡分量不仅与小涡分量的当前状态存在相互作用，而且与它们的发展历史有关。（2） 建立了基于时滞近似惯性流形概念基础上的一步Newton校正算法。构造了Newton型时滞近似惯性流形（族），证明了该校正算法具有类似于椭圆方程Newton迭代的收敛速度和精度。
四、外部粘性流动问题的Oseen或Stokes与Navier-Stokes方程耦合方法。在无限远区域内用Oseen流或Stokes流（依无限远边界条件而定）逼近，将无限区域上的流动归结为一个积分方程，和有限域内的Navier- Stokes方程相耦合。在有限区域内离散化方程是稀疏的，其奇性只限于边界点，即仅占刚度矩阵中少数自由度，因而逼近精度高。建立了耦合方程解的存在性、光滑性和逼近解误差估计等系统理论以及耦合的算法，证明了在这个系统采用非线性Galerkin方法与在有限区域上的Navier- Stokes方程具有同样的精度，利用外推技术，使收敛精度提高一个量级级。
五、线性和非线性弹性壳体的渐近方法。用二维问题来逼近三维的线性、非线性弹性壳体，如， W.T.Koiter,P.M. Naghdi 和P.G.Ciarlet 等提出的模型，李提出的一个新的首项近似变分形式，并且提出一和 二 阶项的求解公式。计算到二阶为止，得到误差阶为 O(epsilon^{1/2}),但 其它的方法，对椭圆壳体，其误差阶为 O(epsilon^{1/5})。
六、非线性问题分歧理论和数值计算。提出一个二维核空间分歧问题的扩充系统方法。把分歧点变为正则点，此扩充系统的特点是可以分块求解，除一子块外，其余子块均可解析求逆,数值求解子块的规模与原问题相当，这种算法也可应用于对称破缺分歧问题。提出关于Navier-Stokes方程极限点和分歧点的扩充系统，并且证明了这个扩充系统的谱方法收敛性和给出误差估计。两个同心球之间流动是全局地球物理流动的一个典型模型，李解析地求出了相应Stokes算子的特征值和特征函数；对特征值给出了渐进估计；并运用它进行了正则点和奇异点的谱逼近和分歧计算；用较小模块可以得到较高精度。
七、工业数学研究（1）73年提出增压柴油机排气压力波和热力气动循环的数学模型和计算.为克服汽阀开关时气缸内外压差太大所带来奇性导致计算发散的弊病,引进新物理量建立其应满足的气缸端边界方程，提出的特征线和差分耦合方法对排气压力波计算,获得了收敛和稳定.成果被用于陕西408厂潜艇发动机的研制。（2）提出核反应堆核燃料最优控制数学模型,用多级有限元和中子扩散方程本征值问题的加速收敛方法,计算机时仅为差分方法的1/10.研制的通用软件包由核工业总公司出口到巴基斯坦。（3）针对反应弯曲效应的轴承润滑提出广义雷诺方程.应用薄流层N-S 方程理论方法和分歧理论来研究其稳定性和计算。（4）建立了大型薄壁构件中三维问题分解为二维和一维耦合求解的数学模型，研制的程序用于武汉机床所重型机床设计及陕西省公路研究所将此用于全国12座公路桥设计。（5）研制复合层介质电场分布有限元计算程序.由于界质层厚度极薄,采用在元素内按Gauss 点均匀化技巧提高计算精度.3个厂用于变压器和短尾电容器设计。根据西安变压器厂86年统计,该厂已用于7台250KW/500KW变压器设计,新增利税490万元,新增产值2450万元,节约美元150万元（1987年证明）。
